読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

裏紙

ほぼ競プロ、たまに日記

yukicoder No.371 - ぼく悪いプライムじゃないよ

問題

No.371 ぼく悪いプライムじゃないよ - yukicoder

問題概要

 [L,H] 合成数のうち,最小の素因数が最大のものを答えよ.そのようなものが複数ある場合には元の整数が最も大きい物を答えよ.

  •  3 \le L \lt H \le 10^{10}

イデア

まず,整数nに対して,最小の素因数を調べることはO(\sqrt{n})でできる.そして合成数に対して,最小の素因数pとしてありえるのは p*p \le Hでなければいけないことと制約から,p \le 10^5であることは確定する.この制約ならpを全列挙することは難しくない.

さて,今は合成数についてのみ考えているので,整数nは, n = p * i (ip以上の整数)という形で表す事ができる.これまでの条件から,2 \le p \le \sqrt{H}p \le i \le H/pという範囲になることが分かる.更に下限についても考慮すればL \le p*iとなる.つまり,iの範囲は max(p, L/p) \le i \le H/pということになる.L/pに関しては整数同士の除算の切り上げ方法を利用する.割る数-1を分子に足せばよくて,(L+p-1)/pをすらばよいことになる.H/pの方は切り捨てなので,そのまま割り算をしてしまえば良い.

後はこれをpが大きい方から調べていき,更新していく.更新の際に最小の素因数も保存しておけば,pがそれ未満になった時点で調べるのを打ち切ることができる.

実装(C++)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
#define rep(i,n) for(int (i)=0;(i)<(int)(n);++(i))
#define each(itr,c) for(__typeof(c.begin()) itr=c.begin(); itr!=c.end(); ++itr)
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second

ll min_factor(ll n)
{
    if(n%2==0) return 2;
    for(ll i=3; i*i<=n; ++i) if(n%i==0) return i;
    return n;
}

const int N=100000;

int main()
{
    bool prime[N+1];
    fill(prime,prime+N+1,true);
    prime[0]=prime[1]=false;
    for(int i=2; i<=N; ++i)
    {
        if(prime[i]) for(int j=2; i*j<=N; ++j) prime[i*j]=false;
    }
    //素数リスト作成
    vector<ll> p;
    rep(i,N) if(prime[i]) p.pb(i);
    int P=p.size();

    ll L,H;
    cin >>L >>H;

    int pidx=P-1;
    while(p[pidx]*p[pidx]>H) --pidx;

    ll pf=-1;
    ll ans=-1;
    for(int pp=pidx; pp>=0; --pp)
    {
        //最小の素因数が暫定の最大値より小さくなったらそれ以降は調べる必要性が無い
        if(p[pp]<pf) break;

        for(ll i=H/p[pp]; i>=max(p[pp],(L+p[pp]-1)/p[pp]); --i)
        {
            ll mul = p[pp]*i;
            ll minpf=min(p[pp],min_factor(i));
            if(pf<minpf || (pf==minpf&& ans<mul))
            {
                pf=minpf;
                ans=mul;
            }
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}