問題

問題概要

サッカーチームが $n$ 個ある。それぞれのサッカーチームにはチーム名があり、2単語から構成されている。

各チームの省略形を3文字で決定したい。各チームに対して、省略形の候補は2種類ある：

1単語目のprefix3文字を取る。
1単語目のprefix2文字と2単語目の頭文字を取る。

ただ、あるチーム $i$ が2つめの候補を選ぶためには条件がある。それはチーム $x$ が2つめの候補を選んだ場合、他のチームはチーム $i$ の1つめの候補を、「1つ目の候補として」選んでいてはいけないということである。もちろん、同じ省略形を複数のチームが使うことも許されない。

チームの省略形の割り当てとして、正当なものがあればその割当て方法を、不可能ならNOと答えよ。

$1 \le n \le 1000$
各チームの2つの単語はそれぞれ3文字以上20文字以下

アイデア

最近2-SATを使う問題(http://codeforces.com/problemset/problem/875/C)にコンテスト中に遭遇した(残念ながら時間内に解けなかった)ので、それもあって2-SATの問題をいくつかやっていた。以前に出会ったこの問題も変な貪欲をやろうしていたが、考慮しきるのは大変だし見落としがちなので、条件を作って2-SATで解いてみる。

リテラル $x_i$ を、1つ目の候補を採用することをtrue、2つ目の候補を採用することをfalseとして表すことにする。

クロージャとして作らなければならないのは、まず大前提として同じになってしまうのは避けなければならない。

あとは、概要のところにも書いたとおり、あるチーム $i$ が2つめの候補を取る場合は、他のチーム $j$ が、チーム $j$ が1つめの候補を、1つめの候補として採用していてはならないということである。これは、 $i$ と $j$ の1つめの候補が同じ場合に、 $\lnot ( lnot x_i \land x_j ) = x_i \lor \lnot x_j$ というクロージャを追加するということを意味する。これで2-SATの条件を盛り込めるので、後はSCCによりこれを解く。辺の数は $O(n^2)$ なので、十分間に合う。

実装(C++)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
#define rep(i,n) for(int (i)=0;(i)<(int)(n);++(i))
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define pb push_back
#define fi first
#define se second

struct SCC{
    int V;
    vector<vector<int>> G, rG;
    vector<int> vs; // 帰りがけ順の並び
    vector<int> cmp; //属する強連結成分トポロジカル順序
    vector<bool> used;

    SCC(){}
    SCC(int n){
        V = n;
        G = vector<vector<int>>(n);
        rG = vector<vector<int>>(n);
    }

    void add_edge(int from, int to){
        G[from].push_back(to);
        rG[to].push_back(from);
    }

    void dfs(int v){
        used[v] = true;
        rep(i,G[v].size())if(!used[G[v][i]]) dfs(G[v][i]);
        vs.push_back(v);
    }

    void rdfs(int v, int k){
        used[v]=true;
        cmp[v]=k;
        rep(i,rG[v].size())if(!used[rG[v][i]]) rdfs(rG[v][i],k);
    }

    int scc(){
        used = vector<bool>(V,false);
        vs.clear();
        rep(i,V)if(!used[i]) dfs(i);

        used = vector<bool>(V,false);
        cmp = vector<int>(V);
        int num_scc = 0;
        for(int i=vs.size()-1; i>=0; --i)if(!used[vs[i]]) rdfs(vs[i],num_scc++);
        return num_scc;
    }
};

struct TwoSat{
    int v;
    SCC graph;

    // v literals
    // 0~v-1: true
    // v~2v-1: false

    TwoSat(int num_literal){
        v = num_literal;
        graph = SCC(2*v);
    }

    inline int num(int id, bool b){return id+(b?0:v);}

    void add_clause(int x, bool X, int y, bool Y){
        graph.add_edge(num(x,!X), num(y,Y));
        graph.add_edge(num(y,!Y), num(x,X));
    }

    // 割り当てが可能か調べる
    bool calc(){
        graph.scc();
        rep(i,v)if(graph.cmp[i]==graph.cmp[v+i]) return false;
        return true;
    }

    // リテラルの真偽値を返す
    vector<bool> get_literals(){
        assert(calc());
        vector<bool> res(v);
        rep(i,v) res[i] = (graph.cmp[i]>graph.cmp[v+i]);
        return res;
    }
};

int main()
{
    int n;
    cin >>n;
    vector<vector<string>> s(n);
    rep(i,n)
    {
        string x,y;
        cin >>x >>y;
        s[i].pb(x.substr(0,3));
        s[i].pb(x.substr(0,2)+y.substr(0,1));
    }

    TwoSat solver(n);
    rep(i,n)rep(j,i)
    {
        rep(ii,2)rep(jj,2)
        {
            if(s[i][ii] == s[j][jj]) solver.add_clause(i,ii,j,jj);
        }

        if(s[i][0]==s[j][0])
        {
            solver.add_clause(i,true,j,false);
            solver.add_clause(j,true,i,false);
        }
    }

    string ans = "NO";
    vector<string> v;
    if(solver.calc())
    {
        ans = "YES";
        vector<bool> literals = solver.get_literals();
        rep(i,n)
        {
            int idx = 1;
            if(literals[i]) idx = 0;
            v.pb(s[i][idx]);
        }
    }

    cout << ans << endl;
    for(string w:v) cout << w << endl;
    return 0;
}

裏紙

ほぼ競プロ、たまに日記

CF 782 D - Innokenty and a Football League

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